1.3数值型数据的编码表示

三要素

• 进位计数制（二进制）
• 定、浮点表示
  • 定点整数、定点小数
  • 浮点数（可用一个定点小数和一个定点整数来表示）
• 如何用二进制编码

1.定点数编码

原码的表示（Sign and Magnitude ）

最高位：符号位（1-负数，0-正数）

其余：数值位

• 0的表示不唯一（1000，0000）
• 需额外对符号位处理
• 加减运算不统一

整数和小数表示

• 定点整数：小数点固定在数值位最右
• 定点小数：小数点固定在数值位最左

补码表示

重要概念：在一个模运算系统中，一个数与它除以“模”后的余数等价。（例如时钟： 3=15）

1. 一个负数的补码等于模减该负数的绝对值，正数补码是它自己。
2. 对于某一确定的模，某数减去小于模的另一数(4)，总可以用该数加上另一数的相反数(-4)的补码来代替。（+ 和- 的统一）

补码定义（假定有n位）

定点整数：

$$[X]_补 = 2^n +X (-2^{n-1} \leq X < 2^{n-1},\quad mod \:2^n)$$

特殊数的补码：

$$[-2^{n-1}]_补 = 2^{n-1}-2 = 10…0 \quad(n-1个0)\quad (mod 2^n)$$ $$[-1]_补 = 2^n - 0…01 = 11…1 \quad(n个1) \quad (mod 2^n)$$ $$[+0]_补 = [-0]_补 = 00…0 \quad (n个0)$$

补码->真值

• 符号为0，则为正数，数值部分相同

• 符号为1，则为负数，数值各位取反，末位加1，得绝对值

  如：补码11010110的真值为：-0101010= -(32+8+2)= -42

变形补码

双符号，用于存放可溢出的中间结果

移码

• 将每一个数值加上一个偏置常数（Excess / bias）

• 一般来说，机器数位数为n时，bias取 $2^{n-1}$

  假设n=4：

  $$E_{biased} = E + 2^3$$

2.整数的表示

• 带符号整数（signed integer）：
  • 定点编码方式：原码、补码、反码
• 无符号整数（unsigned integer）：
  • 例如：地址运算、编号表示
  • 没有符号位，也无需使用原码补码移码
  • 能表示的最大值 > 位数相同的带符号整数的最大值

3.浮点数的表示

十进制

规格化形式：尾数的小数点前只有一位非0数

二进制

只要对尾数和指数分别编码，就可表示一个浮点数（即：实数）

表示

• 浮点数范围比定点数大，但数的个数没变多，变稀疏

IEEE 754 浮点数标准

二进制浮点数转换为十进制

十进制转换为二进制浮点数

特殊数

4.十进制数的二进制编码表示（BCD）

1. 十进制有权码（8421码、自然BCD码）
   • 每个十进制数字的4个二进制位都有确定的权
2. 格雷码
   • 任意两个相邻的编码只有一位二进位不同